Zusammenfassung Physik – Kinematik
Kapitel 2.1–2.6 · ohne Kreisbewegung
Konvention: Die y-Achse zeigt nach oben. $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ist immer der positive Betrag der Fallbeschleunigung; in die Bewegungsgleichungen setzt man das vorzeichenbehaftete $a_y = -g$ ein.
2.1 Bewegung beschreiben
Eine Bewegung wird immer relativ zu einem Bezugssystem beschrieben: Bezugskörper, Koordinatenachse und Uhr. Die Koordinate gibt den Ort an, die Verschiebung vergleicht Anfangs- und Endort, der Weg beschreibt die gesamte durchlaufene Bahn.
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
| $\Delta x = x_2 - x_1$ | Änderung der Koordinate entlang der x-Achse |
| $s \ge \lvert \Delta x \rvert$ | Der Weg $s$ ist nie negativ und nie kleiner als der Betrag der Verschiebung |
| $\bar v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ | Mittlere Geschwindigkeit entlang der Achse im Zeitintervall |
| $\bar a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ | Mittlere Beschleunigung: Geschwindigkeitsänderung pro Zeit |
Diagramme: Die Steigung von $x(t)$ ist die Geschwindigkeit. Die Steigung von $v(t)$ ist die Beschleunigung. Die Fläche unter $v(t)$ ist die Verschiebung (mit Vorzeichen).
Merke: Zuerst Achse und positive Richtung festlegen. $\Delta$ bedeutet „Änderung einer Größe“; der Weg ist immer nicht-negativ.
2.2 Gleichförmige Bewegung
Die Geschwindigkeit ist nach Betrag und Richtung konstant. In gleichen Zeitabschnitten legt der Körper gleiche Strecken zurück; es gibt keine Beschleunigung.
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
| $x(t) = x_0 + v,t$ | Ort zum Zeitpunkt $t$ |
| $\Delta x = v,\Delta t$ | Verschiebung in einem Zeitintervall |
| $s = \lvert v \rvert, t$ | Weg, solange sich die Richtung nicht ändert |
| $v = \text{konstant};\ a = 0$ | Konstante Geschwindigkeit, keine Beschleunigung |
Diagramme: $x(t)$ ist eine Gerade, $v(t)$ ist eine waagrechte Linie.
Merke: Die Steigung von $x(t)$ ist $v$. Die Fläche unter $v(t)$ ist die Verschiebung $\Delta x$.
2.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Die Beschleunigung ist konstant. Die Geschwindigkeit ändert sich linear, der Ort quadratisch. Die Formeln gelten für jede Achse einzeln.
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
| $v(t) = v_0 + a,t$ | Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ |
| $x(t) = x_0 + v_0,t + \tfrac12,a,t^2$ | Ort zum Zeitpunkt $t$ |
| $v^2 = v_0^2 + 2,a,(x - x_0)$ | Zusammenhang von Geschwindigkeit und Verschiebung ohne Zeit |
| $\Delta x = \dfrac{v_0 + v}{2},t$ | Mittlere Geschwindigkeit mal Zeit |
Diagramme: $x(t)$ ist eine Parabel, $v(t)$ ist linear (Gerade), $a(t)$ ist konstant (waagrecht).
Merke: Das Vorzeichen der Beschleunigung hängt von der Achsenrichtung ab. Haben Geschwindigkeit und Beschleunigung dasselbe Vorzeichen, wird der Körper schneller; bei verschiedenen Vorzeichen wird er langsamer.
2.4 Freier Fall
Freier Fall ist eine Bewegung nur unter dem Einfluss der Schwerkraft, ohne Luftwiderstand. Bei y-Achse nach oben ist die Fallbeschleunigung negativ:
$$a_y = -g = -9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$$
Dabei ist $g$ der positive Betrag der Fallbeschleunigung.
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
| $v_y(t) = v_{y0} + a_y,t$ | Vertikale Geschwindigkeit; $a_y$ mit Vorzeichen einsetzen |
| $y(t) = y_0 + v_{y0},t + \tfrac12,a_y,t^2$ | Höhe zum Zeitpunkt $t$ |
| $v_y^2 = v_{y0}^2 + 2,a_y,(y - y_0)$ | Zusammenhang von Geschwindigkeit und Verschiebung ohne Zeit |
| Aus der Ruhe: $\Delta y = \tfrac12,a_y,t^2;\ \lvert v_y \rvert = g,t$ | Vertikale Anfangsgeschwindigkeit ist null |
Diagramme: Die Höhe $y(t)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Die vertikale Geschwindigkeit $v_y(t)$ ist eine fallende Gerade.
Merke: Beim Fallen ist $v_y < 0$, aber $\lvert v_y \rvert$ wächst. Im Diagramm wird die Komponente $v_y$ dargestellt, nicht ihr Betrag.
2.5 Waagrechter Wurf
Der Körper wird horizontal mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ abgeworfen. In x-Richtung ist die Bewegung gleichförmig; in y-Richtung fällt der Körper aus der Ruhe. Da die y-Achse nach oben zeigt, das vorzeichenbehaftete $a_y$ verwenden.
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
| $x(t) = x_0 + v_0,t;\ v_x = v_0$ | Horizontal gibt es keine Beschleunigung |
| $a_y = -g;\ v_y(t) = v_{y0} + a_y,t$ | Vertikale Beschleunigung und Geschwindigkeit |
| $y(t) = y_0 + v_{y0},t + \tfrac12,a_y,t^2$ | Vertikale Koordinate |
| $\lvert \vec v \rvert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ | Betrag der Gesamtgeschwindigkeit |
| $t_\text{Flug} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}};\ \ R = v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ | Flugzeit und Wurfweite bei Abwurfhöhe $h$; $g$ als positiver Betrag |
Bahnkurve: $y(x)$ ist eine nach unten geöffnete Halbparabel, die am Abwurfpunkt waagrecht beginnt.
Merke: Bei gleicher Fallhöhe hängt die Flugzeit nicht von $v_0$ ab. In den Bewegungsgleichungen $a_y = -9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ einsetzen.
2.6 Schräger Wurf
Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ wird in eine horizontale und eine vertikale Komponente zerlegt. Der Winkel $\varphi$ wird von der horizontalen x-Achse aus gemessen. In die y-Gleichungen das vorzeichenbehaftete $a_y$ einsetzen.
| Formel | Bedeutung |
|---|---|
| $v_{x0} = v_0\cos\varphi;\ \ v_{y0} = v_0\sin\varphi$ | Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit |
| $x(t) = x_0 + v_0\cos\varphi\cdot t$ | Horizontale Koordinate |
| $a_y = -g;\ v_y(t) = v_{y0} + a_y,t$ | Vertikale Geschwindigkeit mit Vorzeichen der Beschleunigung |
| $y(t) = y_0 + v_{y0},t + \tfrac12,a_y,t^2$ | Vertikale Koordinate |
| $t_\text{Flug} = \dfrac{2,v_0\sin\varphi}{g}$ | Flugzeit bei gleicher Abwurf- und Landehöhe |
| $h_\text{max} = \dfrac{v_0^2\sin^2\varphi}{2g}$ | Maximale Höhe über dem Abwurfpunkt |
| $R = \dfrac{v_0^2\sin(2\varphi)}{g}$ | Wurfweite bei gleicher Abwurf- und Landehöhe |
Bahnkurve: $y(x)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Merke: Im höchsten Punkt ist $v_y = 0$, aber $v_x$ bleibt erhalten. In den Formeln für Zeit und Wurfweite ist $g$ der positive Betrag $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$.
Vorgehen bei Aufgaben
- Achsen und Vorzeichen festlegen.
- Bewegung in x- und y-Richtung trennen.
- $a_y = -9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ in die allgemeinen Formeln einsetzen.
- Einheiten prüfen: m, s, m/s, m/s².