Physik – Übungsklausur

Beschleunigte Bewegung und Wurfbewegung

Arbeitsbedingungen

Bearbeite die Aufgaben möglichst ohne Lösungen. Schreibe jeweils: Gegeben, Gesucht, Formel, Umstellen, Einsetzen mit Einheiten und Antwortsatz. Vernachlässige den Luftwiderstand, sofern nichts anderes angegeben ist. Verwende $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$. Bei Wurfaufgaben liegt der Ursprung, wenn nicht anders angegeben, am Abwurfpunkt; x zeigt horizontal nach vorn und y nach oben.

Teil A – Beschleunigte Bewegung

Aufgabe A1 – Zwei Fahrzeuge

Zwei Autos bewegen sich in dieselbe Richtung. Zum Zeitpunkt $t = 0$ befindet sich Auto A bei $x_{A,0} = 0\ \mathrm{m}$ und Auto B bei $x_{B,0} = 120\ \mathrm{m}$. Beide starten aus der Ruhe. Ihre konstanten Beschleunigungen sind $a_A = 1{,}20\ \mathrm{m/s^2}$ und $a_B = 0{,}80\ \mathrm{m/s^2}$.

• a) Stelle die Bewegungsgleichungen $x_A(t)$ und $x_B(t)$ auf.
• b) Bestimme, wann und wo A das Auto B einholt.
• c) Berechne die Geschwindigkeiten beider Autos beim Überholen.
• d) Skizziere das $x(t)$-Diagramm und markiere den Schnittpunkt.

Aufgabe A2 – Reaktionszeit und Bremsen

Ein Auto fährt mit $v_0 = 72\ \mathrm{km/h}$. Ein Hindernis befindet sich 55 m voraus. Die Reaktionszeit beträgt 0,80 s; während dieser Zeit fährt das Auto mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremst es gleichmäßig mit $a = -5{,}0\ \mathrm{m/s^2}$.

• a) Wandle $v_0$ in m/s um.
• b) Berechne den Reaktionsweg.
• c) Berechne Bremszeit und Bremsweg ab Beginn des Bremsens.
• d) Kommt das Auto vor dem Hindernis zum Stehen? Begründe rechnerisch.

Aufgabe A3 – Radfahrer und Auto

Ein Radfahrer fährt mit konstanter Geschwindigkeit 6,0 m/s an einem stehenden Auto vorbei. 4,0 s später fährt das Auto aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung $1{,}50\ \mathrm{m/s^2}$ in dieselbe Richtung.

• a) Wähle den Ort des Vorbeifahrens als $x = 0$ und $t = 0$ für den Radfahrer. Stelle beide Ortsfunktionen auf.
• b) Nach welcher Zeit ab dem Start des Autos holt es den Radfahrer ein?
• c) Wie weit vom Startpunkt entfernt findet das Überholen statt?
• d) Berechne die Relativgeschwindigkeit (Geschwindigkeit des Autos minus Geschwindigkeit des Radfahrers) in diesem Moment.

Aufgabe A4 – Gleichmäßig beschleunigtes Auto

Ein Auto legt in 12,0 s eine Strecke von 240 m zurück. Währenddessen steigt seine Geschwindigkeit gleichmäßig von $v_0$ auf $v = 26{,}0\ \mathrm{m/s}$.

• a) Berechne die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$.
• b) Bestimme die Beschleunigung $a$.
• c) Skizziere qualitativ das $v(t)$-Diagramm.

Teil B – Wurfbewegung

Aufgabe B1 – Waagrechter Wurf aus einem Fenster

Ein Ball wird aus einem Fenster waagrecht mit $v_{0x} = 8{,}0\ \mathrm{m/s}$ geworfen. Er landet 20,0 m von der Hauswand entfernt. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

• a) Stelle die Ortsfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ auf, wobei $y = 0$ am Boden liegt und die Fensterhöhe $h$ unbekannt ist.
• b) Berechne die Flugzeit.
• c) Bestimme die Fensterhöhe $h$.
• d) Berechne den Geschwindigkeitsvektor beim Aufprall und seinen Betrag.
• e) Bestimme den Winkel zwischen der Aufprallgeschwindigkeit und dem horizontalen Boden.

Aufgabe B2 – Schräger Wurf

Ein Ball wird vom Boden mit $v_0 = 24{,}0\ \mathrm{m/s}$ unter dem Winkel $\alpha = 40°$ zur Horizontalen geworfen. Abwurf- und Landepunkt liegen auf gleicher Höhe.

• a) Berechne die Anfangskomponenten $v_{0x}$ und $v_{0y}$.
• b) Bestimme die Zeit bis zum höchsten Punkt und die maximale Höhe $h_\text{max}$.
• c) Berechne die gesamte Flugzeit.
• d) Bestimme die Wurfweite $x_\text{max}$ auf zwei Arten: zuerst über die Flugzeit, dann mit $x_\text{max} = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$.
• e) Erkläre kurz, warum die horizontale Geschwindigkeit konstant bleibt, während die vertikale Geschwindigkeit sich ändert.

Aufgabe B3 – Stein vom Turm

Ein Stein wird von einem Turm aus mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 18{,}0\ \mathrm{m/s}$ unter einem Winkel $\alpha = 25°$ über der Horizontalen geworfen. Er landet 32,0 m horizontal vom Fuß des Turms entfernt.

• a) Stelle $x(t)$ und $y(t)$ auf, wobei der Abwurfpunkt der Ursprung ist.
• b) Berechne die Flugzeit aus der horizontalen Bewegung.
• c) Bestimme die vertikale Verschiebung $\Delta y$ bis zum Aufprall.
• d) Berechne die Höhe des Turms.
• e) Bestimme die Geschwindigkeitskomponenten beim Aufprall.

Aufgabe B4 – Maximale Wurfweite und zwei mögliche Winkel

Ein Stein wird vom Boden mit $v_0 = 28{,}0\ \mathrm{m/s}$ geworfen und landet wieder auf gleicher Höhe. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

• a) Unter welchem Winkel $\alpha$ ist die Wurfweite maximal? Begründe.
• b) Berechne die maximale Wurfweite.
• c) Der Stein soll stattdessen in einer Entfernung von 60,0 m landen. Verwende $x = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$, um die möglichen Winkel $\alpha$ im Bereich 0° bis 90° zu bestimmen.
• d) Warum gibt es in Teil c) zwei mögliche Winkel?

Teil C – Transferaufgabe

Aufgabe C1 – Projektil trifft einen Hangpunkt

Ein Projektil wird vom Koordinatenursprung mit $v_0 = 30{,}0\ \mathrm{m/s}$ unter einem Winkel $\alpha = 50°$ abgeschossen. Nach 2,00 s trifft es einen Punkt am Hang.

• a) Berechne die Koordinaten $x$ und $y$ des Projektils nach 2,00 s.
• b) Bestimme den Geschwindigkeitsvektor und den Geschwindigkeitsbetrag zu diesem Zeitpunkt.
• c) Bestimme den Winkel der Geschwindigkeit zur Horizontalen.
• d) Erkläre, welche Größen du für die horizontale und welche für die vertikale Bewegung verwendest.

Formel-Check vor der Abgabe

• Gleichförmig: $x = x_0 + v,t$
• Gleichmäßig beschleunigt: $v = v_0 + a,t$; $x = x_0 + v_0,t + \tfrac12,a,t^2$; $v^2 = v_0^2 + 2,a,\Delta x$
• Wurfbewegung: $x = v_0\cos(\alpha),t$; $y = y_0 + v_0\sin(\alpha),t - \tfrac12,g,t^2$
• Geschwindigkeit beim Wurf: $v_x = v_0\cos(\alpha)$; $v_y = v_0\sin(\alpha) - g,t$
• Maximale Höhe: $v_y = 0$ am höchsten Punkt
• Wurfweite bei gleicher Start- und Landehöhe: $x_\text{max} = \dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$

Lösungen zur Selbstkontrolle

Versuche zuerst selbst zu rechnen. Die Werte sind gerundet; kleine Abweichungen durch Rundung sind normal.

Hinweis: Die Lösungen wurden nachgerechnet. Bei A3, B3, B4 und C1 enthielt die Original-PDF falsche oder ungenaue Werte; hier stehen die korrigierten Ergebnisse (jeweils mit ⚠ markiert).

A1

• a) $x_A = 0{,}60,t^2$; $x_B = 120 + 0{,}40,t^2$
• b) $0{,}60,t^2 = 120 + 0{,}40,t^2 \Rightarrow t = \sqrt{600} \approx 24{,}5\ \mathrm{s}$; $x \approx 360\ \mathrm{m}$
• c) $v_A \approx 29{,}4\ \mathrm{m/s}$; $v_B \approx 19{,}6\ \mathrm{m/s}$

A2

• a) $72\ \mathrm{km/h} = 20\ \mathrm{m/s}$
• b) $s_R = 20 \cdot 0{,}80 = 16\ \mathrm{m}$
• c) $t_B = 20/5{,}0 = 4{,}0\ \mathrm{s}$; $s_B = 20^2/(2 \cdot 5{,}0) = 40\ \mathrm{m}$
• d) Gesamtweg $= 56\ \mathrm{m}$, also reicht der Abstand von 55 m nicht: Das Auto käme rechnerisch erst 1 m hinter dem Hindernis zum Stehen (Aufprall).

A3 ⚠

• a) Radfahrer: $x_R = 6{,}0,t$. Auto (für $t \ge 4{,}0\ \mathrm{s}$): $x_A = \tfrac12 \cdot 1{,}50,(t-4{,}0)^2$
• b) Gleichsetzen: $0{,}75,(t-4)^2 = 6,t \Rightarrow t^2 - 16,t + 16 = 0 \Rightarrow t = 8 \pm \sqrt{48}$. Die Lösung $t \approx 1{,}1\ \mathrm{s}$ liegt vor dem Start des Autos und entfällt. Also $t \approx 14{,}9\ \mathrm{s}$ ab Vorbeifahren, das sind 10,9 s nach dem Start des Autos.
• c) Überholort $x = 6{,}0 \cdot 14{,}9 \approx 89{,}6\ \mathrm{m}$
• d) $v_A = 1{,}50 \cdot 10{,}9 \approx 16{,}4\ \mathrm{m/s}$; Relativgeschwindigkeit $= 16{,}4 - 6{,}0 \approx 10{,}4\ \mathrm{m/s}$

(Original-PDF: t ≈ 12,0 s, x ≈ 72 m, Δv = 6,0 m/s. Probe: bei t = 12 s ist das Auto erst bei 48 m, der Radfahrer bei 72 m – das passt nicht.)

A4

• a) Mittlere Geschwindigkeit $= \dfrac{v_0 + 26}{2} = \dfrac{240}{12} = 20 \Rightarrow v_0 = 14{,}0\ \mathrm{m/s}$
• b) $a = \dfrac{26 - 14}{12} = 1{,}0\ \mathrm{m/s^2}$
• c) $v(t)$ ist eine steigende Gerade von 14 auf 26 m/s.

B1

• a) $x = 8{,}0,t$; $y = h - \tfrac12,g,t^2$
• b) $t = 20/8{,}0 = 2{,}50\ \mathrm{s}$
• c) $h = \tfrac12 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}50^2 \approx 30{,}7\ \mathrm{m}$
• d) $v_x = 8{,}0\ \mathrm{m/s}$; $v_y = -9{,}81 \cdot 2{,}50 = -24{,}5\ \mathrm{m/s}$; $\lvert \vec v \rvert \approx 25{,}8\ \mathrm{m/s}$
• e) $\beta = \arctan(\lvert v_y \rvert / v_x) \approx 71{,}9°$ unter der Horizontalen

B2

• a) $v_{0x} \approx 18{,}4\ \mathrm{m/s}$; $v_{0y} \approx 15{,}4\ \mathrm{m/s}$
• b) $t_\text{auf} \approx 1{,}57\ \mathrm{s}$; $h_\text{max} \approx 12{,}1\ \mathrm{m}$
• c) $T \approx 3{,}15\ \mathrm{s}$
• d) $x \approx 57{,}8\ \mathrm{m}$; auch $\dfrac{24^2}{9{,}81}\sin 80° \approx 57{,}8\ \mathrm{m}$
• e) Horizontal wirkt keine Beschleunigung; vertikal wirkt $-g$.

B3 ⚠

• a) $x = 18\cos 25° \cdot t$; $y = 18\sin 25° \cdot t - \tfrac12,g,t^2$
• b) $t = \dfrac{32}{18\cos 25°} \approx 1{,}96\ \mathrm{s}$
• c) $\Delta y = 18\sin 25° \cdot 1{,}96 - \tfrac12 \cdot 9{,}81 \cdot 1{,}96^2 \approx 14{,}9\ \mathrm{m} - 18{,}9\ \mathrm{m} \approx -4{,}0\ \mathrm{m}$
• d) Turmhöhe $\approx 4{,}0\ \mathrm{m}$ (genauer 3,95 m)
• e) $v_x \approx 16{,}3\ \mathrm{m/s}$; $v_y \approx 7{,}61 - 9{,}81 \cdot 1{,}96 \approx -11{,}6\ \mathrm{m/s}$

(Original-PDF: Δy ≈ −9,1 m und Turmhöhe ≈ 9,1 m – das ist ein Rechenfehler.)

B4 ⚠

• a) $\alpha = 45°$, weil $\sin(2\alpha)$ maximal ist, wenn $\sin(2\alpha) = 1$.
• b) $x_\text{max} = 28^2/9{,}81 \approx 79{,}9\ \mathrm{m}$
• c) $\sin(2\alpha) = 60 \cdot 9{,}81/28^2 \approx 0{,}751$. Daraus $2\alpha \approx 48{,}7°$ oder $131{,}3°$; $\alpha \approx 24{,}3°$ oder $65{,}7°$ (Original: 24,4°)
• d) Die Winkel $\alpha$ und $90° - \alpha$ ergeben denselben Wert von $\sin(2\alpha)$.

C1 ⚠

• a) $x = 30\cos 50° \cdot 2 \approx 38{,}6\ \mathrm{m}$; $y = 30\sin 50° \cdot 2 - \tfrac12 \cdot 9{,}81 \cdot 4 \approx 26{,}3\ \mathrm{m}$ (Original: 26,2 m)
• b) $v_x \approx 19{,}3\ \mathrm{m/s}$; $v_y = 30\sin 50° - 9{,}81 \cdot 2 \approx 3{,}4\ \mathrm{m/s}$ (Original: 3,2 m/s); $\lvert \vec v \rvert \approx 19{,}6\ \mathrm{m/s}$
• c) Winkel $\approx \arctan(3{,}4/19{,}3) \approx 9{,}9°$ über der Horizontalen (Original: 9,4°)
• d) x: konstante Geschwindigkeit $v_x$; y: konstante Beschleunigung $-g$.