Formelsammlung Physik – Grundlagen & Kinematik

Oct 19, 2026 · @Oleksii Petrenko

Alles aus Kapitel 1 und 2.1–2.6 eures Skripts, ohne Kreisbewegung (2.7). Konvention wie im Unterricht: y-Achse nach oben, g = 9,81 m/s², Vektoren als Spalten (x; y).

1 Grundlagen

Größe = Maßzahl · Einheit, z. B. l = 4 cm, also {l} = 4 und [l] = cm.

Abgeleitete Einheit, Beispiel aus F = m·a:

$$ 1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Weitere nützliche Zerlegungen für den Einheitencheck: 1 J = 1 N·m = 1 kg·m²/s², 1 W = 1 J/s, 1 Pa = 1 N/m².

Präfixe

Ångström: 1 Å = 10⁻¹⁰ m. Bei Potenzen der Einheit potenziert sich der Faktor mit: 1 cm² = 10⁻⁴ m², 1 cm³ = 10⁻⁶ m³, 1 min⁻² = 1/3600 s⁻².

Umrechnung km/h ↔ m/s: 1 m/s = 3,6 km/h. Also km/h ÷ 3,6 = m/s.

Schreibweisen

• Wissenschaftlich: a · 10ⁿ mit 1 ≤ |a| < 10, z. B. c = 2,998 · 10⁸ m/s
• Technisch: n ist Vielfaches von 3, 1 ≤ |a| < 1000, z. B. c = 299,8 · 10⁶ m/s
• Größenordnung = nächstliegende Zehnerpotenz

Gültige Ziffern (g. Z.)

• Zehnerpotenzen zählen nicht
• Führende Nullen zählen nicht (0,0150 hat 3 g. Z.)
• Alle anderen Ziffern zählen, auch Endnullen (149,600 hat 6 g. Z.)
• Ergebnis bekommt so viele g. Z. wie die ungenaueste gegebene Größe
• Explizite Fehlerangabe: r = (149,6 ± 2,5) · 10⁶ km; implizit bei 149,6 · 10⁶ km heißt ± 0,05 · 10⁶ km

Skalar oder Vektor

• Skalar (nur Betrag): Zeit, Masse, Temperatur, Strecke, Tempo, Energie
• Vektor (Betrag und Richtung): Ort r⃗, Geschwindigkeit v⃗, Beschleunigung a⃗, Kraft F⃗
• Tempo = Betrag der Geschwindigkeit: v = |v⃗|

Lösungsschema für Rechenaufgaben

1. Geg. / Ges. mit den Bezeichnungen aus der Aufgabe aufschreiben
2. Skizze (optional)
3. Modell wählen (gleichförmig, beschleunigt, freier Fall, Wurf …)
4. Formeln allgemein aufstellen, noch keine Zahlen einsetzen
5. So viele Gleichungen wie Unbekannte
6. Hilfsgrößen eliminieren (Einsetz- oder Gleichsetzverfahren)
7. Nach der gesuchten Größe auflösen
8. Zahlen mit Einheiten einsetzen
9. Einheitencheck
10. Größenordnungscheck

2 Gleichförmige Bewegung (v = const)

Die Geschwindigkeit ändert weder Betrag noch Richtung, also reicht eine Koordinate x(t). Start zur Zeit t₀ am Ort x₀ mit v₀:

$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t - t_0} $$

$$ a(t) = 0 \qquad v(t) = v_0 \qquad x(t) = v_0\,(t - t_0) + x_0 $$

Mit t₀ = 0 und x₀ = 0 wird daraus das bekannte s = v · t.

• x(t)-Diagramm: Gerade, Steigung = v
• v(t)-Diagramm: waagrechte Linie, Fläche darunter = zurückgelegte Strecke Δx
• v < 0 heißt Rückwärtsbewegung (fallende Gerade im x(t)-Diagramm)

Einholen und Treffen (zwei Körper A und B): beide Ort-Zeit-Gleichungen aufstellen, gleichsetzen, nach t auflösen, t in eine Gleichung einsetzen.

$$ x_A(t_T) = x_B(t_T) $$

• Aufeinander zu (Abstand d): t = d / (v_A + v_B)
• Hinterher mit Vorsprung d: t = d / (v_A − v_B)
• Startet einer später, steht bei ihm (t − t₀) statt t

Mittlere und Momentangeschwindigkeit

$$ \bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad v(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \dot x(t) = \frac{dx}{dt} $$

• Mittlere Geschwindigkeit = Steigung der Sekante im x(t)-Diagramm
• Momentangeschwindigkeit = Steigung der Tangente (Ableitung)
• Falle: halbe Strecke mit v₁, halbe mit v₂ ergibt nicht den Durchschnitt. Richtig ist v̄ = Gesamtstrecke / Gesamtzeit, hier v̄ = 2·v₁·v₂ / (v₁ + v₂). Nur bei halber Zeit je Tempo gilt v̄ = (v₁ + v₂) / 2.

3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (a = const)

Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. a > 0 heißt schneller werden (bei v > 0), a < 0 heißt Bremsen (Verzögerung).

$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \dot v(t) = \ddot x(t) \qquad [a] = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} $$

Bewegungsgleichungen (Start zur Zeit t₀ am Ort x₀ mit v₀):

$$ \begin{aligned} a(t) &= a\\ v(t) &= a\,(t-t_0) + v_0\\ x(t) &= \tfrac12\,a\,(t-t_0)^2 + v_0\,(t-t_0) + x_0 \end{aligned} $$

Aus der Ruhe vom Ursprung (t₀ = 0, v₀ = 0, x₀ = 0): v = a·t und s = ½·a·t².

Zeitfreie Gleichung (t eliminiert, t₀ = 0). Nutzen, wenn keine Zeit gegeben oder gesucht ist:

$$ v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0) $$

Weg aus Durchschnittsgeschwindigkeit (Trapezfläche im v(t)-Diagramm). Nutzen, wenn a unbekannt ist:

$$ \Delta x = \frac{v_0 + v}{2}\,\Delta t $$

Typische Umstellungen

Diagramme

• a(t): waagrechte Linie; Fläche darunter = Δv
• v(t): Gerade, Steigung = a, Fläche = Δx
• x(t): Parabel; nach oben geöffnet bei a > 0, nach unten bei a < 0; Scheitel dort, wo v = 0

Reaktionsweg + Bremsweg: Während der Reaktionszeit t_R fährt das Auto gleichförmig weiter.

$$ s_{\text{Anhalte}} = v_0\,t_R + \frac{v_0^2}{2\,|a|} $$

Quadratische Gleichungen entstehen oft beim Auflösen nach t. Mitternachtsformel:

$$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Nur die physikalisch sinnvolle Lösung nehmen (meist t > 0 und nach dem Start).

Herleitung durch Integration (Differentialgleichung): Aus a(t) = a folgt durch Integrieren v(t) = a·(t − t₀) + v₀. Nochmals integrieren ergibt x(t). Die Integrationskonstanten sind die Anfangswerte v₀ und x₀.

Auffahren knapp vermeiden: A fährt mit v_A,0 hinter B (konstant v_B) und bremst bei Abstand d₀ mit dem Betrag a₀. Grenzfall: A erreicht v_B genau in dem Moment, in dem er B erreicht.

$$ a_0 = \frac{(v_{A,0} - v_B)^2}{2\,d_0} $$

Kein Aufprall, wenn die Verzögerung mindestens diesen Wert hat.

4 Freier Fall und senkrechter Wurf

Nur die Schwerkraft wirkt; die Beschleunigung hängt nicht von Masse oder Form ab. g liegt zwischen 9,78 m/s² (Äquator) und 9,83 m/s² (Pole), Standardwert g = 9,81 m/s². Bei y-Achse nach oben gilt a = −g.

Freier Fall aus Höhe y₀ (v₀ = 0):

$$ a(t) = -g \qquad v(t) = -g\,t \qquad y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + y_0 $$

$$ t_{\text{Fall}} = \sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \qquad |v_{\text{Aufprall}}| = \sqrt{2\,g\,y_0} \qquad h = \frac{v^2}{2\,g} $$

Senkrechter Wurf aus Höhe y₀ mit v₀ (v₀ > 0 nach oben, v₀ < 0 nach unten):

$$ a(t) = -g \qquad v(t) = -g\,t + v_0 \qquad y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + v_0\,t + y_0 $$

Diagramme: v(t) ist eine fallende Gerade mit Steigung −g und Nullstelle am Umkehrpunkt. y(t) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel am Umkehrpunkt.

Brunnen mit Schall (gestoppte Gesamtzeit T = Fallzeit + Schallzeit):

$$ T = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{c_{\text{Schall}}} $$

Lösen: √h = z substituieren, dann quadratische Gleichung in z.

5 Waagrechter und schiefer Wurf

Grundidee (Unabhängigkeitsprinzip): Horizontal und vertikal getrennt rechnen. x-Richtung: gleichförmig. y-Richtung: freier Fall bzw. senkrechter Wurf. Beide Bewegungen haben dieselbe Zeit t. Darum fällt ein waagrecht geworfener Körper genau so schnell wie ein fallen gelassener.

Koordinatenfreie Form (gilt für jeden Wurf):

$$ \vec r(t) = \tfrac12\,\vec a\,t^2 + \vec v_0\,t + \vec r_0 \qquad \vec v(t) = \vec a\,t + \vec v_0 \qquad \vec a = \begin{pmatrix}0\\-g\end{pmatrix} $$

Schiefer Wurf (Abwurfwinkel α, Höhe y₀)

$$ \vec v_0 = \begin{pmatrix} v_0\cos\alpha \\ v_0\sin\alpha \end{pmatrix} \qquad \vec r_0 = \begin{pmatrix}0\\y_0\end{pmatrix} $$

$$ \vec r(t) = \begin{pmatrix} v_0\cos\alpha\; t \\ -\tfrac12 g t^2 + v_0\sin\alpha\; t + y_0 \end{pmatrix} \qquad \vec v(t) = \begin{pmatrix} v_0\cos\alpha \\ -g\,t + v_0\sin\alpha \end{pmatrix} $$

Bahngleichung (t = x / (v₀ cos α) in y einsetzen), eine nach unten geöffnete Parabel:

$$ y(x) = -\frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha\; x + y_0 $$

Waagrechter Wurf (α = 0°)

$$ x(t) = v_0\,t \qquad y(t) = -\tfrac12\,g\,t^2 + y_0 \qquad y(x) = -\frac{g}{2\,v_0^2}\,x^2 + y_0 $$

$$ t_A = \sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \qquad x_A = v_0\sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \qquad v_0 = x_A\sqrt{\frac{g}{2\,y_0}} $$

Auftreffgeschwindigkeit (jeder Wurf)

Die Bahngeschwindigkeit liegt tangential zur Bahn.

$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad \tan\beta = \frac{|v_y|}{v_x} $$

β ist der Winkel gegen die Horizontale (Auftreffwinkel). Ohne Zeit: |v| = √(v₀² + 2·g·y₀), weil v_x konstant bleibt und v_y² = v₀ᵧ² + 2·g·y₀ gilt.

Rückwärts rechnen (aus v_A und β auf den Abwurf): v_x = v_A·cos β bleibt konstant, v_y,A = −v_A·sin β, dann v_y,0 = v_y,A + g·t.

Affenschuss: Zielt man direkt auf einen Körper, der im Moment des Schusses fallen gelassen wird, trifft man immer. Beide fallen in derselben Zeit um ½·g·t² unter ihre geradlinige Bahn.

6 Diagramme und typische Fallen

Zwischen den Diagrammen wechseln: Nach unten (x → v → a) ableiten, also die Steigung ablesen. Nach oben (a → v → x) integrieren, also die Fläche ablesen.

• Fläche unter der t-Achse im v(t)-Diagramm zählt negativ (Rückwärtsbewegung)
• Abschnittsweise Bewegungen: Endwerte (t, v, x) eines Abschnitts sind die Startwerte des nächsten
• Ein Knick im x(t)-Diagramm bedeutet einen Sprung in v (nur in Idealisierung)
• Beim Skizzieren müssen die Kurvenart (Gerade, Parabel) und markante Punkte (Scheitel, Schnittpunkte, Nullstellen) stimmen

Typische Fallen

• km/h vor dem Rechnen in m/s umrechnen (÷ 3,6), Minuten in Sekunden
• Vorzeichen: Bremsen heißt a < 0, Fallen heißt a = −g bei y-Achse nach oben
• Bei Würfen erst v₀ in v₀ₓ und v₀ᵧ zerlegen; der Taschenrechner muss im DEG-Modus stehen
• Wurfweite x_A = v₀²·sin(2α)/g gilt nur, wenn Abwurf- und Auftreffhöhe gleich sind
• Durchschnittsgeschwindigkeit nie als Mittelwert der Tempi bilden, sondern Gesamtweg / Gesamtzeit
• Ergebnis auf die g. Z. der ungenauesten Angabe runden, Zwischenergebnisse genauer lassen
• Startet ein Körper später, x(t) mit (t − t₀) schreiben
• Beim Treffen/Einholen mit Beschleunigung: zwei Gleichungen (Ort gleich) und ggf. Geschwindigkeit gleich für “ganz knapp”

Probe-Kurzarbeiten Kinematik

Oct 19, 2026 · @Oleksii Petrenko

Drei Probe-Kurzarbeiten mit steigender Dauer, Stoff: Kapitel 1 und 2.1–2.6 ohne Kreisbewegung. Erst ohne Formelsammlung unter Zeitdruck rechnen, dann mit den Lösungen am Ende vergleichen. g = 9,81 m/s², Ergebnisse mit sinnvoller Anzahl gültiger Ziffern.

Probe-KA 1 · 30 Minuten · 24 Punkte

Aufgabe 1 – Größen und Einheiten (8 P)

1. Rechne um: 72 km/h in m/s; 0,045 mm in µm; 3,2 cm² in m².
2. Gib die Anzahl der gültigen Ziffern an: 0,00340 m und 2,050 · 10³ kg.
3. Schreibe 0,0004720 m in wissenschaftlicher Notation.
4. Ein Wagen fährt 4,8 m in 2,15 s. Berechne das Tempo mit korrekter Rundung.
5. Zeige per Einheitencheck, dass N · s / kg die Einheit einer Geschwindigkeit ist.

Aufgabe 2 – Gleichförmige Bewegung (7 P)

Anna fährt um 14:00 Uhr in Ort A mit konstant 18 km/h Richtung Ort B los. B liegt 12 km entfernt. Ben startet um 14:05 Uhr in B mit konstant 24 km/h Richtung A.

1. Stelle die Ort-Zeit-Gleichungen beider auf (Ursprung in A, Richtung A → B positiv).
2. Berechne, wann und wo sich beide treffen.
3. Skizziere beide Bewegungen in einem gemeinsamen x(t)-Diagramm.

Aufgabe 3 – Beschleunigte Bewegung (9 P)

Ein Sportwagen beschleunigt gleichmäßig in 8,0 s aus dem Stand auf 100 km/h.

1. Berechne die Beschleunigung und den dabei zurückgelegten Weg.
2. Danach bremst er mit 6,5 m/s² bis zum Stillstand. Berechne Bremszeit und Bremsweg.
3. Bei einer Gefahrenbremsung mit 100 km/h beträgt die Reaktionszeit 1,0 s. Wie lang ist der Anhalteweg?
4. Skizziere das v(t)-Diagramm von Beschleunigung und Bremsung (ohne Reaktionszeit).

Probe-KA 2 · 45 Minuten · 32 Punkte

Aufgabe 1 – Freier Fall (5 P)

Ein Stein wird von einer Brücke fallen gelassen und schlägt nach 2,4 s auf dem Wasser auf (Luftwiderstand vernachlässigen, Schallzeit vernachlässigen).

1. Wie hoch ist die Brücke?
2. Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Stein auf? Gib sie in m/s und km/h an.

Aufgabe 2 – Senkrechter Wurf (9 P)

Ein Ball wird aus 1,5 m Höhe mit 12 m/s senkrecht nach oben geworfen. Die y-Achse zeigt nach oben, der Boden liegt bei y = 0.

1. Stelle v(t) und y(t) auf.
2. Nach welcher Zeit erreicht der Ball den höchsten Punkt, und wie hoch über dem Boden ist dieser?
3. Wann und mit welchem Tempo trifft der Ball auf den Boden?
4. Skizziere das v(t)- und das y(t)-Diagramm und markiere den Umkehrpunkt.

Aufgabe 3 – Waagrechter Wurf (9 P)

Eine Murmel rollt über eine 0,80 m hohe Tischkante und landet 1,2 m (waagrecht gemessen) von der Tischkante entfernt auf dem Boden.

1. Stelle r⃗(t) und v⃗(t) in Spaltenschreibweise auf (Ursprung am Boden unter der Tischkante).
2. Berechne die Flugzeit und die Geschwindigkeit, mit der die Murmel die Tischkante verlässt.
3. Berechne Betrag und Auftreffwinkel β (gegen den Boden) der Endgeschwindigkeit.

Aufgabe 4 – Einholen mit Beschleunigung (9 P)

Ein Radfahrer fährt mit konstant 18 km/h an einer roten Ampel vorbei, an der ein Auto steht. Genau 10 s später fährt das Auto mit konstant 1,0 m/s² los.

1. Stelle für beide x(t) auf (t = 0, wenn der Radfahrer die Ampel passiert).
2. Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung von der Ampel holt das Auto den Radfahrer ein?
3. Mit welcher Relativgeschwindigkeit überholt das Auto?

Probe-KA 3 · 60 Minuten · 44 Punkte

Aufgabe 1 – Einheiten (3 P)

Eine Weinbergschnecke kriecht 8,4 m pro Stunde. Gib ihr Tempo in m/s in wissenschaftlicher Notation mit zwei gültigen Ziffern an. Begründe kurz, warum zwei gültige Ziffern angemessen sind.

Aufgabe 2 – Gefahrenbremsung (9 P)

Ein Hindernis taucht 50 m vor einem Auto auf. Die Reaktionszeit beträgt 0,80 s, die Bremsverzögerung 6,0 m/s².

1. Zeige, dass das Auto bei 72 km/h rechtzeitig zum Stehen kommt.
2. Mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) prallt es auf das Hindernis, wenn es mit 80 km/h fährt?

Aufgabe 3 – Schiefer Wurf (14 P)

Eine Kugelstoßerin stößt die Kugel aus 2,0 m Höhe mit 13 m/s unter 40° gegen die Horizontale ab.

1. Stelle r⃗(t) und v⃗(t) mit eingesetzten Zahlen auf.
2. Berechne Zeitpunkt und Höhe des Scheitelpunkts.
3. Berechne Flugzeit und Wurfweite.
4. Berechne Betrag und Richtung der Auftreffgeschwindigkeit.
5. Überprüfe den Betrag aus 4. mit einer Rechnung ohne Zeit.

Aufgabe 4 – Abwurfwinkel (8 P)

Ein Ball wird vom Boden mit 20 m/s abgeworfen und soll 30 m entfernt wieder auf dem Boden landen.

1. Welche maximale Wurfweite wäre mit diesem Tempo möglich, und unter welchem Winkel?
2. Unter welchen beiden Winkeln muss geworfen werden, um genau 30 m zu erreichen?
3. Welcher der beiden Würfe dauert länger? Begründe und berechne beide Flugzeiten.

Aufgabe 5 – Diagramme (10 P)

Ein Fahrzeug startet bei x₀ = 2 m. Sein v(t)-Diagramm verläuft geradlinig zwischen diesen Punkten:

1. Benenne die Bewegungsart jedes Abschnitts.
2. Berechne die Beschleunigung in jedem Abschnitt und zeichne das a(t)-Diagramm.
3. Berechne den Ort x am Ende jedes Abschnitts und skizziere das x(t)-Diagramm (Kurvenart beachten).

Musterlösungen

Erst nach dem Bearbeiten lesen. Zwischenergebnisse sind ungerundet weitergerechnet, Endergebnisse nach g. Z. gerundet.

Lösung Probe-KA 1

Aufgabe 1

1. 72 km/h ÷ 3,6 = 20 m/s; 0,045 mm = 45 µm; 3,2 cm² = 3,2 · 10⁻⁴ m²
2. 0,00340 m: 3 g. Z. (führende Nullen zählen nicht, Endnull schon); 2,050 · 10³ kg: 4 g. Z.
3. 4,720 · 10⁻⁴ m (die Endnull bleibt, sie ist eine gültige Ziffer)
4. v = 4,8 m / 2,15 s = 2,23 m/s → 2,2 m/s (4,8 hat nur 2 g. Z.)
5. N · s / kg = (kg · m/s²) · s / kg = m/s ✓

Aufgabe 2

1. x_A(t) = 18 km/h · t und x_B(t) = 12 km − 24 km/h · (t − 5 min). Ben fährt in negative Richtung, also Minus.
2. Gleichsetzen (t in h, 5 min = 1/12 h): 18t = 12 − 24t + 2, also 42t = 14 und t = 1/3 h. Treffen nach 20 min, um 14:20 Uhr, 6,0 km von A entfernt.
3. Anna: steigende Gerade ab (0 | 0). Ben: fallende, steilere Gerade ab (5 min | 12 km). Schnittpunkt bei (20 min | 6,0 km).

Aufgabe 3

1. v = 100 km/h = 27,8 m/s. a = v / t = 3,5 m/s². s = ½ · a · t² = 1,1 · 10² m (111 m).
2. t_B = v₀ / |a| = 27,8 / 6,5 = 4,3 s. s_B = v₀² / (2|a|) = 59 m.
3. Reaktionsweg 27,8 m/s · 1,0 s = 28 m. Anhalteweg = 28 m + 59 m = 87 m.
4. Gerade von (0 | 0) auf (8,0 s | 27,8 m/s), dann steilere fallende Gerade bis (12,3 s | 0).

Lösung Probe-KA 2

Aufgabe 1

1. h = ½ · g · t² = ½ · 9,81 m/s² · (2,4 s)² = 28 m
2. v = g · t = 23,5 m/s ≈ 24 m/s ≈ 85 km/h

Aufgabe 2

1. v(t) = −9,81 m/s² · t + 12 m/s und y(t) = −4,905 m/s² · t² + 12 m/s · t + 1,5 m
2. v(t_S) = 0 ergibt t_S = 12 / 9,81 = 1,2 s. y_max = 1,5 m + (12 m/s)² / (2g) = 8,8 m
3. y(t) = 0 lösen (Mitternachtsformel, positive Lösung): t = 2,6 s. Tempo: v = √(v₀² + 2g·y₀) = 13 m/s (nach unten).
4. v(t): fallende Gerade, Nullstelle bei 1,2 s. y(t): nach unten geöffnete Parabel, Start bei 1,5 m, Scheitel (1,2 s | 8,8 m), Nullstelle bei 2,6 s.

Aufgabe 3

1. r⃗(t) = (v₀ · t ; −½ g t² + 0,80 m), v⃗(t) = (v₀ ; −g t)
2. y = 0: t = √(2 · 0,80 m / g) = 0,40 s. v₀ = 1,2 m / 0,40 s = 3,0 m/s
3. v_y = −g · t = −4,0 m/s. v = √(3,0² + 4,0²) m/s = 5,0 m/s. tan β = 4,0 / 3,0, also β = 53°

Aufgabe 4

1. Radfahrer: x_R(t) = 5,0 m/s · t. Auto: x_A(t) = ½ · 1,0 m/s² · (t − 10 s)² für t ≥ 10 s
2. Gleichsetzen: t² − 30t + 100 = 0, also t = 26 s oder t = 3,8 s. Die zweite Lösung liegt vor dem Start des Autos und entfällt. Einholen nach 26 s, 1,3 · 10² m (131 m) von der Ampel.
3. v_Auto = 1,0 m/s² · 16,2 s = 16 m/s. Relativgeschwindigkeit = 16,2 − 5,0 = 11 m/s (≈ 40 km/h)

Lösung Probe-KA 3

Aufgabe 1: 8,4 m / 3600 s = 2,3 · 10⁻³ m/s. Die Angabe 8,4 m hat 2 g. Z., die Stunde gilt als exakt.

Aufgabe 2

1. 72 km/h = 20 m/s. Reaktionsweg 20 · 0,80 = 16 m. Bremsweg 20² / (2 · 6,0) = 33 m. Anhalteweg 49 m < 50 m, das Auto hält rechtzeitig.
2. 80 km/h = 22,2 m/s. Reaktionsweg 17,8 m, Restweg 32,2 m. Zeitfreie Gleichung: v² = v₀² − 2 · |a| · s, also v = √(22,2² − 2 · 6,0 · 32,2) m/s = 10,4 m/s ≈ 37 km/h. Schon 8 km/h mehr verwandeln „steht knapp“ in einen Aufprall mit fast 40 km/h.

Aufgabe 3

1. v₀ₓ = 13 · cos 40° = 9,96 m/s, v₀ᵧ = 13 · sin 40° = 8,36 m/s. r⃗(t) = (9,96 m/s · t ; −4,905 m/s² · t² + 8,36 m/s · t + 2,0 m), v⃗(t) = (9,96 m/s ; −9,81 m/s² · t + 8,36 m/s)
2. t_S = 8,36 / 9,81 = 0,85 s. y_max = 2,0 m + 8,36² / (2g) = 5,6 m
3. y(t) = 0: −4,905t² + 8,36t + 2,0 = 0, also t_A = 1,9 s (1,92 s). Weite x = 9,96 · 1,92 = 19 m
4. v_y = 8,36 − 9,81 · 1,92 = −10,4 m/s. v = √(9,96² + 10,4²) = 14 m/s. tan β = 10,4 / 9,96, also β = 46° unter der Horizontalen
5. v = √(v₀² + 2g·y₀) = √(13² + 2 · 9,81 · 2,0) m/s = 14,4 m/s ✓

Aufgabe 4

1. Maximum bei α = 45°: x_max = v₀² / g = 400 / 9,81 = 41 m
2. sin(2α) = x · g / v₀² = 30 · 9,81 / 400 = 0,736. 2α = 47,4° oder 132,6°, also α = 24° oder α = 66°
3. t_A = 2 · v₀ · sin α / g: 1,6 s bei 24° und 3,7 s bei 66°. Der steile Wurf dauert länger, weil seine vertikale Startgeschwindigkeit größer ist.

Aufgabe 5

x(t): nach oben geöffnete Parabel bis (4 s | 18 m), Gerade bis (10 s | 66 m), nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel bei (12 s | 74 m). Die Übergänge sind knickfrei, weil v keine Sprünge hat.